Teste a convergenncia ou divergència das síuies.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
O conteúdo aqui é séries alternadas (Teste de Leibniz) e análise de convergência absoluta (comparação assintótica).
Passo 2
Definimos
Para usar o teste de Leibniz, precisamos que
. Note que
e, portanto,
Passo 3
Mostramos que
é (eventualmente) decrescente. Considere a função
Calculando a derivada,
Para
temos
. Como
e
, a sequência
é decrescente a partir de
.
Passo 4
Pelo Teste de Leibniz, uma série alternada
converge se
,
decrescente e
. Logo
converge.
Passo 5
Para a convergência absoluta, analisamos
Para
grande,
Como
diverge (série harmônica), por comparação a série de termos positivos
também diverge.
Passo 6
Concluímos que a série original converge pelo Teste de Leibniz, mas não converge absolutamente (diverge quando se toma o valor absoluto dos termos).
Resposta
A série converge condicionalmente.