Teste a convergenncia ou divergència das síuies.
sumn=1^infty(-1)^n n^3n^4+1

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n,n^3n^4+1
O conteúdo aqui é séries alternadas (Teste de Leibniz) e análise de convergência absoluta (comparação assintótica).

Passo 2

Definimos
bn = n^3n^4+1
Para usar o teste de Leibniz, precisamos que limntoinftybn=0. Note que
bn = n^3n^4+1 = n^3n^4l(1+tfrac1n^4r) = 1nl(1+tfrac1n^4r)
e, portanto,
limntoinftybn = limntoinfty1n,(1+1/n^4) =0

Passo 3

Mostramos que (bn) é (eventualmente) decrescente. Considere a função
f(x)=x^3x^4+1, x>=1
Calculando a derivada,
f'(x) =3x^2(x^4+1)-x^3cdot4x^3(x^4+1)^2 =-x^6+3x^2(x^4+1)^2 =x^2,(3-x^4)(x^4+1)^2
Para x>3^1/4approx1,316 temos f'(x)<0. Como b1=1/2 e b2=8/17<1/2, a sequência bn é decrescente a partir de n=1.

Passo 4

Pelo Teste de Leibniz, uma série alternada sum(-1)^nbn converge se bn>=0, bn decrescente e lim bn=0. Logo
sumn=1^infty(-1)^n,n^3n^4+1
converge.

Passo 5

Para a convergência absoluta, analisamos
sumn=1^inftybn =sumn=1^inftyn^3n^4+1
Para n grande,
n^3n^4+1 > n^32,n^4 =12n
Como sum1/n diverge (série harmônica), por comparação a série de termos positivos sum bn também diverge.

Passo 6

Concluímos que a série original converge pelo Teste de Leibniz, mas não converge absolutamente (diverge quando se toma o valor absoluto dos termos).

Resposta

A série converge condicionalmente.

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