Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Produto de binômios.
(y-12)(y+7)

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com produto de binômios: primeiro expandir a expressão
(y - 12)(y + 7)
e depois fatorar o resultado para comparar com a expressão original. Vamos usar a propriedade distributiva (método FOIL) para expandir e, em seguida, buscar dois números cujo produto e soma correspondam aos coeficientes do polinômio obtido.

Passo 2

Aplicando a distributiva (FOIL) em (y-12)(y+7), temos:
(y-12)(y+7) = ycdot y + ycdot 7 -12cdot y -12cdot7 = y^2 +7y -12y -84 = y^2 -5y -84

Passo 3

Para fatorar o trinômio y^2 -5y -84, buscamos números p e q tais que
p+q = -5 e pcdot q = -84
Observamos que p=-12 e q=7 satisfazem essas condições. Então:
y^2 -5y -84 = y^2 -12y +7y -84 = y(y -12) +7(y -12) = (y+7)(y-12)
Como a multiplicação é comutativa, (y+7)(y-12) coincide exatamente com (y-12)(y+7).

Resposta

(a) y^2 -5y -84
(b) (y-12)(y+7), que é a expressão original.

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