Nos problemas a seguir, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
integral e^5 x+3 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral e^5x + 3 , dx. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra de integração para funções exponenciais e entender como lidar com o coeficiente que está multiplicando x no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está no expoente: 5x + 3. Sabemos que a integral de e^u em relação a x é integral e^u , dx = 1u' e^u + C, onde u' é a derivada de u em relação a x.

Passo 3

Aqui, u = 5x + 3. Vamos calcular a derivada de u em relação a x: u' = ddx(5x + 3) = 5.

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da integral. Substituímos u e u' na fórmula:
integral e^5x + 3 , dx = 15 e^5x + 3 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para verificar se nosso cálculo está correto, vamos derivar o resultado obtido:
ddx( 15 e^5x + 3 + C ) = 15 cdot 5 e^5x + 3 = e^5x + 3
Como o resultado da derivada é igual à função original e^5x + 3, confirmamos que a integração está correta.

Resposta

integral e^5x + 3 , dx = 15 e^5x + 3 + C

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