Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Produto de binômios.
(3+a raiz2)(3-a raiz2)

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com produto de binômios:
(a) expandir (3 + araiz2)(3 - araiz2);
(b) fatorar o resultado e verificar que volta à expressão original.
O conteúdo usado será a propriedade distributiva e a fórmula da diferença de quadrados.

Passo 2

Aplicamos a distributiva para expandir o produto:
(3 + araiz2)(3 - araiz2) = 3cdot3 + 3cdot(-araiz2) + araiz2cdot3 + araiz2cdot(-araiz2)
= 9 - 3araiz2 + 3araiz2 - (araiz2)^2 = 9 - (a^2cdot2) = 9 - 2a^2

Passo 3

Para fatorar 9 - 2a^2 reconhecemos uma diferença de quadrados:
9 - 2a^2 = (3)^2 - (raiz2,a)^2 = (3 - araiz2)(3 + araiz2)

Passo 4

Comparando, vemos que a fatoração recupera exatamente os binômios dados no enunciado, só que em ordem invertida.

Resposta

(a) 9 - 2a^2
(b) (3 + araiz2)(3 - araiz2), que coincide com a expressão inicial.

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