Nos problemas a seguir, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
integral x^2(x^3+1)^3 / 4 d x

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma integral para resolver:
integral x^2(x^3+1)^3 / 4 dx
Vamos trabalhar com integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas. Basicamente, vamos mudar a variável para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da expressão para substituir. Olha só, temos x^3 + 1 dentro da potência. Isso parece uma boa candidata para substituir, porque sua derivada aparece também na expressão. Então, vamos deixar:
u = x^3 + 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x. Derivando:
dudx = 3x^2
Então, podemos escrever:
du = 3x^2 dx
Isso significa que:
x^2 dx = du3

Passo 4

Vamos substituir u e x^2 dx na integral original:
integral x^2(x^3+1)^3 / 4 dx = integral (u)^3/4 cdot du3
Simplificando:
13 integral u^3/4 du

Passo 5

Agora, resolvemos a integral de u^3/4. Lembra da regra de potência para integrais? Se tivermos integral u^n du, onde n neq -1, a antiderivada é:
u^n+1n+1 + C
Aqui, n = 34, então:
integral u^3/4 du = u^7/47/4 + C = 47 u^7/4 + C

Passo 6

Voltando para a nossa integral original:
13 cdot 47 u^7/4 + C = 421 u^7/4 + C
Agora, substituímos u de volta para x:
421 (x^3 + 1)^7/4 + C

Resposta

A integral é igual a:
421 (x^3 + 1)^7/4 + C

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