Nos problemas a seguir, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
integral 2 x e^x^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 2 x e^x^2-1 , dx. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observando a expressão x^2 - 1 no expoente de e, podemos escolher u = x^2 - 1. Isso porque a derivada de u em relação a x vai nos ajudar a simplificar o 2x que está multiplicando e^x^2-1.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = 2x
Isso significa que du = 2x , dx. Perceba que temos justamente 2x , dx na integral original, que corresponde a du.

Passo 4

Com essa substituição, a integral original fica mais simples:
integral 2x e^x^2-1 , dx = integral e^u , du
A integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u + C, onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, voltamos à variável original x. Sabemos que u = x^2 - 1, então substituímos de volta:
e^u + C = e^x^2-1 + C

Resposta

A integral integral 2 x e^x^2-1 , dx é igual a e^x^2-1 + C, onde C é a constante de integração.

Verificação

Para verificar se nossos cálculos estão corretos, vamos derivar a resposta. A derivada de e^x^2-1 em relação a x é:
ddx e^x^2-1 = e^x^2-1 cdot 2x
Que é exatamente o integrando original 2x e^x^2-1. Portanto, a solução está correta.

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