Nos problemas a seguir, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observando a expressão
no expoente de
, podemos escolher
. Isso porque a derivada de
em relação a
vai nos ajudar a simplificar o
que está multiplicando
.
Passo 3
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Isso significa que
. Perceba que temos justamente
na integral original, que corresponde a
.
Passo 4
Com essa substituição, a integral original fica mais simples:
A integral de
em relação a
é simplesmente
, onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, voltamos à variável original
. Sabemos que
, então substituímos de volta:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
Verificação
Para verificar se nossos cálculos estão corretos, vamos derivar a resposta. A derivada de
em relação a
é:
Que é exatamente o integrando original
. Portanto, a solução está correta.