Nos problemas a seguir, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente em integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição que simplifique a integral e depois aplicar as regras de integração. No final, também vamos verificar se a nossa resposta está correta derivando o resultado obtido.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a integral:
. A presença de
e
sugere que uma substituição pode facilitar a integração. Vamos definir uma nova variável
para simplificar a expressão dentro da raiz.
Passo 3
Vamos escolher
. Isso é útil porque a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
. Notamos que temos um
na nossa integral original, o que é quase o que precisamos para substituir.
Passo 4
A nossa integral original é
. Com a substituição
, e sabendo que
, podemos resolver para
:
. Agora, substituímos na integral:
Passo 5
A integral agora ficou
. Sabemos que
, e a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. Aplicando isso:
Passo 6
Agora, voltamos à variável original
. Como
, substituímos de volta:
Passo 7
Então, a integral
é igual a
.
Passo 8
Agora, vamos verificar se nosso cálculo está correto, derivando o resultado obtido e vendo se retornamos à função original dentro da integral.
Derivando
, usamos a regra da cadeia:
Isso confirma que a derivada do nosso resultado é igual à função original da integral, então está tudo certo!
Resposta
A integral
é igual a
.