Nos problemas a seguir, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
integral 3 t raizt^2+8 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 3 t raizt^2+8 , dt. Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente em integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição que simplifique a integral e depois aplicar as regras de integração. No final, também vamos verificar se a nossa resposta está correta derivando o resultado obtido.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral: integral 3 t raizt^2+8 , dt. A presença de t e raizt^2+8 sugere que uma substituição pode facilitar a integração. Vamos definir uma nova variável u para simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Vamos escolher u = t^2 + 8. Isso é útil porque a derivada de u em relação a t é du/dt = 2t, ou seja, du = 2t , dt. Notamos que temos um t , dt na nossa integral original, o que é quase o que precisamos para substituir.

Passo 4

A nossa integral original é integral 3 t raizt^2+8 , dt. Com a substituição u = t^2 + 8, e sabendo que du = 2t , dt, podemos resolver para t , dt: t , dt = du2. Agora, substituímos na integral:
integral 3 t raizt^2+8 , dt = integral 3 raizu cdot du2 = 32 integral raizu , du

Passo 5

A integral agora ficou 32 integral raizu , du. Sabemos que raizu = u^1/2, e a integral de u^n em relação a u é u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração. Aplicando isso:
32 integral u^1/2 , du = 32 cdot u^3/23/2 + C = 32 cdot 23 u^3/2 + C = u^3/2 + C

Passo 6

Agora, voltamos à variável original t. Como u = t^2 + 8, substituímos de volta:
u^3/2 + C = (t^2 + 8)^3/2 + C

Passo 7

Então, a integral integral 3 t raizt^2+8 , dt é igual a (t^2 + 8)^3/2 + C.

Passo 8

Agora, vamos verificar se nosso cálculo está correto, derivando o resultado obtido e vendo se retornamos à função original dentro da integral.
Derivando (t^2 + 8)^3/2, usamos a regra da cadeia:
ddt ( (t^2 + 8)^3/2 ) = 32 (t^2 + 8)^1/2 cdot 2t = 3 t raizt^2 + 8
Isso confirma que a derivada do nosso resultado é igual à função original da integral, então está tudo certo!

Resposta

A integral integral 3 t raizt^2+8 , dt é igual a (t^2 + 8)^3/2 + C.

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