Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Produto de binômios.
(1+raiz2)(1-raiz2)

Passo 1

O enunciado pede para expandir o produto de binômios
(1+raiz2)(1-raiz2)
e, em seguida, fatorar o resultado obtido, comparando-o com a expressão original. O conteúdo usado será a multiplicação de binômios e a fatoração pela diferença de quadrados.

Passo 2

Vamos multiplicar termo a termo:
(1+raiz2)(1-raiz2) =1cdot1 ;-;1cdotraiz2 ;+;raiz2cdot1 ;-;raiz2cdotraiz2

Passo 3

Agrupando e simplificando:
1 - raiz2 + raiz2 - (raiz2)^2 =1 - 2 =-1
Logo, o produto expandido é -1.

Passo 4

Agora vamos fatorar -1. Note que
-1 = 1 - 2 = 1^2 - (raiz2)^2
Aplicando a fórmula da diferença de quadrados a^2-b^2=(a+b)(a-b) com a=1 e b=raiz2, obtemos
1^2 - (raiz2)^2 = (1+raiz2)(1-raiz2),
que é exatamente a expressão inicial.

Resposta

(a) -1
(b) (1+raiz2)(1-raiz2), que coincide com a expressão dada.

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