Nos problemas a seguir, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
integral 2 y^4y^5+1 d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de 2 y^4y^5 + 1 em relação a y e depois verificar se está certo derivando o resultado. Isso tudo está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente em integrais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral: integral 2 y^4y^5 + 1 , dy. Notamos que o numerador, 2 y^4, parece ser relacionado à derivada do denominador, y^5 + 1. Isso sugere que uma substituição pode ser útil aqui.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Definimos:
u = y^5 + 1
Agora, vamos derivar u em relação a y para encontrar du:
dudy = 5 y^4
Isso significa que:
du = 5 y^4 , dy
Queremos expressar y^4 dy em termos de du, então isolamos y^4 dy:
y^4 dy = du5

Passo 4

Agora, substituímos u e du na integral original. Originalmente, temos:
integral 2 y^4y^5 + 1 , dy
Substituindo u e y^4 dy:
integral 2u cdot du5
Simplificando os constantes:
25 integral 1u , du

Passo 5

A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural de u mais a constante de integração. Então:
25 integral 1u , du = 25 ln|u| + C
Agora, substituímos u de volta por y^5 + 1:
25 ln|y^5 + 1| + C
Como y^5 + 1 é sempre positivo para qualquer valor real de y, podemos simplificar para:
25 ln(y^5 + 1) + C

Passo 6

Para verificar se a nossa solução está correta, vamos derivar o resultado obtido e ver se chega na função original integranda.
Derivando:
ddy ( 25 ln(y^5 + 1) + C ) = 25 cdot 5 y^4y^5 + 1
Simplificando:
2 cdot 5 y^45 (y^5 + 1) = 2 y^4y^5 + 1
Que é exatamente a função que estávamos integrando. Então, a verificação confirma que está tudo certo!

Resposta

A integral de 2 y^4y^5 + 1 em relação a y é:
25 ln(y^5 + 1) + C
onde C é a constante de integração.

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