Nos problemas a seguir, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
em relação a
e depois verificar se está certo derivando o resultado. Isso tudo está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente em integrais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a integral:
. Notamos que o numerador,
, parece ser relacionado à derivada do denominador,
. Isso sugere que uma substituição pode ser útil aqui.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Definimos:
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que:
Queremos expressar
em termos de
, então isolamos
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original. Originalmente, temos:
Substituindo
e
:
Simplificando os constantes:
Passo 5
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
mais a constante de integração. Então:
Agora, substituímos
de volta por
:
Como
é sempre positivo para qualquer valor real de
, podemos simplificar para:
Passo 6
Para verificar se a nossa solução está correta, vamos derivar o resultado obtido e ver se chega na função original integranda.
Derivando:
Simplificando:
Que é exatamente a função que estávamos integrando. Então, a verificação confirma que está tudo certo!
Resposta
A integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração.