Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Produto de binômios.
(-b+raizb^2-4 a c)(-b-raizb^2-4 a c)

Passo 1

O enunciado pede para expandir a expressão
(-b + raizb^2 - 4ac),(-b - raizb^2 - 4ac)
e depois retornar a fatoração para mostrar que de fato voltamos ao produto de binômios dado. O conteúdo aqui é aplicação do método FOIL (ou produto notável de soma e diferença) e, em seguida, uso da diferença de quadrados.

Passo 2

Aplicamos FOIL, ou seja, multiplicamos termo a termo:
(-b + raizb^2 - 4ac),(-b - raizb^2 - 4ac) &= (-b)cdot(-b) + (-b)cdotl(-raizb^2 - 4acr) &+ raizb^2 - 4ac,cdot(-b) + raizb^2 - 4ac,l(-raizb^2 - 4acr)

Passo 3

Agora simplificamos cada termo:
(-b)cdot(-b)=b^2, (-b)cdotl(-raizb^2 - 4acr)=braizb^2 - 4ac,
raizb^2 - 4ac,cdot(-b)=-braizb^2 - 4ac, raizb^2 - 4ac,l(-raizb^2 - 4acr)=-(b^2 - 4ac)
Somando tudo:
b^2 + braizb^2 - 4ac - braizb^2 - 4ac - (b^2 - 4ac) = b^2 - (b^2 - 4ac) = 4ac

Passo 4

Para refatorar 4ac como produto de dois binômios, observamos que
4ac = b^2 - l(b^2 - 4acr) = (-b)^2 - l(raizb^2 - 4acr)^2,
que é exatamente a diferença de quadrados. Logo,
4ac = (-b + raizb^2 - 4ac),(-b - raizb^2 - 4ac),
ou seja, retornamos à expressão original.

Resposta

(a) A expansão é
(-b + raizb^2 - 4ac)(-b - raizb^2 - 4ac) = 4ac
(b) Fatorando 4ac pela diferença de quadrados, obtemos de volta
(-b + raizb^2 - 4ac)(-b - raizb^2 - 4ac),
que coincide com a expressão dada.

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