Nos problemas a seguir, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
integral ln 5 xx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de ln(5x)x em relação a x. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais que têm logaritmos. Para resolver, a gente vai precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
integral ln(5x)x , dx
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
u = ln(5x)
Agora, vamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx:
dudx = ddx ln(5x) = 55x = 1x
Então, rearranjando, temos:
du = 1x , dx Rightarrow dx = x , du
Mas observe que na nossa integral original temos ln(5x)x , dx, e com a substituição:
ln(5x)x , dx = u cdot du

Passo 3

Agora, a integral fica bem mais simples:
integral u , du
Integrando em relação a u:
integral u , du = u^22 + C
Substituindo de volta o valor de u:
(ln(5x))^22 + C

Passo 4

Para verificar se está tudo certo, vamos derivar a resposta que encontramos:
(ln(5x))^22 + C
A derivada de (ln(5x))^22 em relação a x é:
2 ln(5x)2 cdot 15x cdot 5 = ln(5x)x
Que é exatamente a função original dentro da integral. Então, nossos cálculos estão corretos!

Resposta

A integral de ln(5x)x , dx é (ln(5x))^22 + C, onde C é a constante de integração.

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