Nos problemas a seguir, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de
em relação a
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais que têm logaritmos. Para resolver, a gente vai precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
:
Então, rearranjando, temos:
Mas observe que na nossa integral original temos
, e com a substituição:
Passo 3
Agora, a integral fica bem mais simples:
Integrando em relação a
:
Substituindo de volta o valor de
:
Passo 4
Para verificar se está tudo certo, vamos derivar a resposta que encontramos:
A derivada de
em relação a
é:
Que é exatamente a função original dentro da integral. Então, nossos cálculos estão corretos!
Resposta
A integral de
é
, onde
é a constante de integração.