Nos problemas a seguir, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema é calcular a integral de
. A gente vai trabalhar com funções exponenciais e usar um método chamado substituição para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador da fração que estamos integrando:
- Numerador:
- Denominador:
A ideia aqui é perceber se conseguimos simplificar essa expressão ou encontrar uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir na integral:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na nossa integral original. Originalmente, temos:
Substituindo
e
, a integral fica:
Passo 5
A integral
é uma integral básica que resulta no logaritmo natural de
mais uma constante de integração. Ou seja:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos substituir de volta o valor de
para expressar a solução em termos de
:
Passo 7
Para verificar se nossos cálculos estão corretos, vamos derivar a função que encontramos:
Usando a regra da cadeia, a derivada do logaritmo é:
Simplificando, temos:
Que é exatamente o integrando original, confirmando que nossa solução está correta.
Resposta
A integral de
é
, onde
é a constante de integração.