Nos problemas a seguir, determine a integral indicada e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
integral e^x+e^-xe^x-e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema é calcular a integral de e^x + e^-xe^x - e^-x , dx. A gente vai trabalhar com funções exponenciais e usar um método chamado substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador da fração que estamos integrando:
  • Numerador: e^x + e^-x
  • Denominador: e^x - e^-x
A ideia aqui é perceber se conseguimos simplificar essa expressão ou encontrar uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = e^x - e^-x
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir na integral:
dudx = e^x + e^-x
Isso significa que:
du = (e^x + e^-x) , dx

Passo 4

Agora, vamos substituir u e du na nossa integral original. Originalmente, temos:
integral e^x + e^-xe^x - e^-x , dx
Substituindo u = e^x - e^-x e du = (e^x + e^-x) , dx, a integral fica:
integral duu

Passo 5

A integral integral duu é uma integral básica que resulta no logaritmo natural de u mais uma constante de integração. Ou seja:
integral duu = ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos substituir de volta o valor de u para expressar a solução em termos de x:
ln|u| + C = ln|e^x - e^-x| + C

Passo 7

Para verificar se nossos cálculos estão corretos, vamos derivar a função que encontramos:
ddx ( ln|e^x - e^-x| + C )
Usando a regra da cadeia, a derivada do logaritmo é:
1e^x - e^-x cdot (e^x + e^-x)
Simplificando, temos:
e^x + e^-xe^x - e^-x
Que é exatamente o integrando original, confirmando que nossa solução está correta.

Resposta

A integral de e^x + e^-xe^x - e^-x , dx é ln|e^x - e^-x| + C, onde C é a constante de integração.

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