Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(m+n)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir a expressão (m+n)^3 e depois refatorar o resultado para verificar se voltamos a (m+n)^3. O conteúdo aqui é o Teorema do Binômio para expoente 3 e técnicas de multiplicação de polinômios.

Passo 2

Primeiro calculamos (m+n)^2, pois (m+n)^3=(m+n)^2(m+n).
(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2

Passo 3

Agora multiplicamos esse resultado por (m+n):
(m^2 + 2mn + n^2)(m+n) = m^2cdot m + m^2cdot n + 2mncdot m + 2mncdot n + n^2cdot m + n^2cdot n
Agrupando termos semelhantes:
= m^3 + m^2n + 2m^2n + 2mn^2 + mn^2 + n^3 = m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3

Passo 4

Para refatorar ,m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3, reconhecemos os coeficientes binomiais ,1,3,3,1. Pelo Teorema do Binômio inverso,
m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3 = (m+n)^3

Resposta

(a) (m+n)^3 = m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3
(b) Refatorando ,m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3 obtemos (m+n)^3, que é a expressão original.

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