Nos problemas a seguir, calcule a integral definida pedida.
integral0^ln 2(e^x-e^-x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! A questão pede para calcular a integral de e^x - e^-x no intervalo de 0 até ln 2 . Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a encontrar a área sob uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^ln 2 e^x , dx - integral0^ln 2 e^-x , dx
Isso simplifica o problema, permitindo que calculemos cada parte individualmente.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a integral de e^x em relação a x é simplesmente e^x , porque a derivada de e^x é e^x . Então:
integral e^x , dx = e^x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para a segunda parte, a integral de e^-x , usamos uma regra semelhante. A integral de e^kx é 1k e^kx . Então, para k = -1 :
integral e^-x , dx = -e^-x + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração para cada parte:
[ e^x ]0^ln 2 - [ -e^-x ]0^ln 2

Passo 6

Calculamos cada termo substituindo os limites:
e^ln 2 - e^0 - (-e^-ln 2 + e^0)
Sabemos que e^ln 2 = 2 e e^0 = 1 , então:
2 - 1 - (-e^-ln 2 + 1)

Passo 7

Simplificamos a expressão:
1 - (-e^-ln 2 + 1) = 1 + e^-ln 2 - 1 = e^-ln 2
E sabemos que e^-ln 2 = 12 .

Resposta

A integral definida é igual a 12 .

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