Nos problemas a seguir, calcule a integral definida pedida.
integral1^3(1+1x+1x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral1^3(1+1x+1x^2) dx.
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas. Para resolver isso, precisamos saber como integrar cada termo da expressão separadamente e depois avaliar os resultados nos limites de integração, que são de 1 a 3.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em partes menores que são mais fáceis de trabalhar. A integral da soma é igual à soma das integrais:
integral1^3(1+1x+1x^2) dx = integral1^31,dx + integral1^31x,dx + integral1^31x^2,dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integral de 1 em relação a x:
integral 1,dx = x + C
Aqui, C é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos usar os limites depois.
  1. Integral de 1x em relação a x:
integral 1x,dx = ln|x| + C
Sabemos que a integral de 1x é o logaritmo natural de x.
  1. Integral de 1x^2 em relação a x:
integral 1x^2,dx = integral x^-2,dx = x^-1-1 + C = -1x + C
Aqui, usamos a regra da potência para integrar x^n.

Passo 4

Agora, vamos somar as integrais que calculamos:
integral1^3(1+1x+1x^2) dx = [ x + ln|x| - 1x ]1^3
Isso significa que vamos avaliar a expressão x + ln|x| - 1x nos limites superiores e inferiores e depois subtrair.

Passo 5

Vamos calcular para x = 3:
3 + ln(3) - 13
E para x = 1:
1 + ln(1) - 11
Sabemos que ln(1) = 0, então fica:
1 + 0 - 1 = 0

Passo 6

Agora, subtraímos o valor de x = 1 do valor de x = 3:
(3 + ln(3) - 13) - 0 = 3 + ln(3) - 13

Resposta

A integral definida é igual a 3 + ln(3) - 13.

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