Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(a+x)^3

Passo 1

O enunciado pede (a) expandir a expressão (a+x)^3 e (b) depois fatorar o resultado para comparar com a expressão original. O conteúdo é o binômio de Newton no caso cúbico, que podemos obter por multiplicação distributiva em duas etapas.

Passo 2

Primeiro calculamos o quadrado:
(a+x)^2 = a^2 + 2ax + x^2

Passo 3

Em seguida multiplicamos esse resultado por (a+x):
(a+x)^3 = (a^2 + 2ax + x^2),(a+x)

Passo 4

Aplicando a distributiva de forma direta:
(a^2 + 2ax + x^2)(a+x) = a^3 + a^2x + 2a^2x + 2ax^2 + ax^2 + x^3 = a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3

Passo 5

Para fatorar
a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3
extraímos o fator comum (a+x):
a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3 = (a+x),(a^2 + 2ax + x^2)

Passo 6

Reconhecendo que
a^2 + 2ax + x^2 = (a+x)^2,
temos a fatoração completa
(a+x),(a+x)^2 = (a+x)^3,
que coincide com a expressão dada.

Resposta

(a) (a+x)^3 = a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3
(b) a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3 = (a+x),(a^2+2ax+x^2) = (a+x)^3, confirmando a expressão original.

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