Nos problemas a seguir, determine a área sob a curva dada no intervalo indicado.
y=x^4 no intervalo -1 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área sob a curva da função y = x^4 no intervalo de -1 <= x <= 2 . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de integrais, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas. Precisamos entender como integrar a função x^4 e depois calcular esse valor entre os limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de uma função. A integral definida de uma função f(x) entre a e b nos dá a área sob a curva de f(x) nesse intervalo. A fórmula geral para isso é:
integrala^b f(x) , dx
Aqui, f(x) = x^4 , a = -1 e b = 2 .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral de x^4 . Para integrar uma função como x^n , usamos a regra de potência, que diz:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Onde C é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com C .

Passo 4

Aplicando a regra de potência para x^4 :
integral x^4 , dx = x^55 + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração, que são de -1 a 2 . Isso significa que vamos calcular:
[ x^55 ]-1^2 = 2^55 - (-1)^55

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
Para x = 2 :
2^55 = 325
Para x = -1 :
(-1)^55 = -15

Passo 7

Subtraindo os dois valores:
325 - ( -15 ) = 325 + 15 = 335

Resposta

A área sob a curva y = x^4 no intervalo -1 <= x <= 2 é 335 unidades quadradas.

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