Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(x+1)^3

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com o cubo de uma soma, ou seja, expandir e depois fatorar de volta a expressão
(x+1)^3
O conteúdo usado será o Teorema Binomial para potências e, na fatoração, o reconhecimento de fatores comuns.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial temos
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Aqui tomamos a = x e b = 1. Assim
(x+1)^3 = x^3 + 3x^2cdot1 + 3xcdot1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1

Passo 3

Agora fatoramos o polinômio resultante
x^3 + 3x^2 + 3x + 1
Agrupando ou usando fator comum, observamos que ele se divide por x+1:
x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x+1)l(x^2+2x+1r)
Mas x^2+2x+1 é (x+1)^2. Logo
x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x+1),(x+1)^2 = (x+1)^3

Passo 4

Comparando, vemos que a fatoração reconstrói exatamente a expressão original (x+1)^3.

Resposta

(a) x^3 + 3x^2 + 3x + 1
(b) (x+1)^3, que coincide com a expressão dada.

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