Nos problemas a seguir, determine a área sob a curva dada no intervalo indicado.
y=(x+1) raizx no intervalo 0 <= x <= 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a área sob a curva da função y = (x + 1)raizx no intervalo de x que vai de 0 até 4. Isso está no campo do cálculo integral, especificamente usando integrais definidas para calcular áreas. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função dada nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a integração. Temos y = (x + 1)raizx . Podemos reescrever essa função usando expoentes:
y = (x + 1) cdot x^1/2
Agora, distribuímos x^1/2 :
y = x cdot x^1/2 + 1 cdot x^1/2 = x^3/2 + x^1/2

Passo 3

Agora que temos a função simplificada, vamos configurar a integral definida para encontrar a área:
Área = integral0^4 ( x^3/2 + x^1/2 ) dx Á
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Vamos integrar x^3/2 :
integral x^3/2 dx = 25x^5/2 + C
E agora, vamos integrar x^1/2 :
integral x^1/2 dx = 23x^3/2 + C

Passo 5

Juntando as duas integrais, temos:
integral ( x^3/2 + x^1/2 ) dx = 25x^5/2 + 23x^3/2 + C
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 4, o constante C não é necessário.

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral no intervalo de 0 a 4:
Área = [ 25x^5/2 + 23x^3/2 ]0^4 Á
Primeiro, calculamos para x = 4 :
25(4)^5/2 + 23(4)^3/2
Sabemos que 4^1/2 = 2 , então:
4^5/2 = (4^1/2)^5 = 2^5 = 32
4^3/2 = (4^1/2)^3 = 2^3 = 8
Substituindo:
25 cdot 32 + 23 cdot 8 = 645 + 163
Para somar as frações, encontramos o denominador comum, que é 15:
645 = 19215
163 = 8015
19215 + 8015 = 27215
Agora, para x = 0 :
25(0)^5/2 + 23(0)^3/2 = 0 + 0 = 0

Resposta

A área sob a curva y = (x + 1)raizx no intervalo de 0 <= x <= 4 é 27215 unidades quadradas.

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