Nos problemas a seguir, determine a área sob a curva dada no intervalo indicado.
no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a área sob a curva da função
no intervalo de
que vai de 0 até 4. Isso está no campo do cálculo integral, especificamente usando integrais definidas para calcular áreas. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função dada nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a integração. Temos
. Podemos reescrever essa função usando expoentes:
Agora, distribuímos
:
Passo 3
Agora que temos a função simplificada, vamos configurar a integral definida para encontrar a área:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 4
Vamos integrar
:
E agora, vamos integrar
:
Passo 5
Juntando as duas integrais, temos:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 4, o constante
não é necessário.
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral no intervalo de 0 a 4:
Primeiro, calculamos para
:
Sabemos que
, então:
Substituindo:
Para somar as frações, encontramos o denominador comum, que é 15:
Agora, para
:
Resposta
A área sob a curva
no intervalo de
é
unidades quadradas.