(valor 2 pontos) Seja F(x, y, z)=(x+yx^2+y^2, y-xx^2+y^2, z+1) um campo vetorial em R^3.
Determine o dominio da F e calcule o rotacional de F.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=l(x+yx^2+y^2,;y-xx^2+y^2,;z+1r)
e pede (i) o domínio de F e (ii) o rotacional nablatimes F. Vamos identificar onde F está bem definido e depois aplicar a definição de rotacional, que envolve derivadas parciais.

Passo 2

O denominador comum é , que não pode ser zero. Logo está definido em todos os pontos tais que
Assim o domínio é

Passo 3

Para F=(P,Q,R) o rotacional é
nabla times F = partial Rpartial y - partial Qpartial z [6pt] partial Ppartial z - partial Rpartial x [6pt] partial Qpartial x - partial Ppartial y
Aqui P=x+yx^2+y^2, Q=y-xx^2+y^2 e R=z+1.]

Passo 4

Calculamos as duas primeiras componentes:
partial R/partial y=0, partial Q/partial z=0, partial P/partial z=0 e partial R/partial x=0.
Logo
(nablatimes F)1=0-0=0, (nablatimes F)2=0-0=0

Passo 5

Para a terceira componente precisamos de
partial Qpartial x e partial Ppartial y
Usando a regra do quociente obtemos
partial Qpartial x =x^2-2xy-y^2(x^2+y^2)^2, partial Ppartial y =x^2-2xy-y^2(x^2+y^2)^2
Portanto
(nablatimes F)3 =partial Qpartial x-partial Ppartial y=0

Resposta

Domínio: (x,y,z)in R^3mid x^2+y^2>0
Rotacional: nablatimes F=(0,0,0)

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