(valor 2 pontos) Seja um campo vetorial em .
Determine o dominio da e calcule o rotacional de .
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede (i) o domínio de e (ii) o rotacional . Vamos identificar onde está bem definido e depois aplicar a definição de rotacional, que envolve derivadas parciais.
Passo 2
O denominador comum é , que não pode ser zero. Logo está definido em todos os pontos tais que
Assim o domínio é
Passo 3
Para o rotacional é
Aqui P=x+yx^2+y^2, Q=y-xx^2+y^2 e R=z+1.]
Passo 4
Calculamos as duas primeiras componentes: partial R/partial y=0, partial Q/partial z=0, partial P/partial z=0 e partial R/partial x=0.
Logo
(nablatimes F)1=0-0=0, (nablatimes F)2=0-0=0
Passo 5
Para a terceira componente precisamos de
partial Qpartial x e partial Ppartial y
Usando a regra do quociente obtemos
partial Qpartial x =x^2-2xy-y^2(x^2+y^2)^2, partial Ppartial y =x^2-2xy-y^2(x^2+y^2)^2