Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(a^2 x^3+3 a y^4)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois refatorar a expressão
l(a^2x^3+3a y^4r)^3
Aqui o conteúdo é a fórmula do cubo de uma soma:
(u+v)^3=u^3+3u^2v+3u v^2+v^3

Passo 2

Identificamos
u = a^2x^3, v = 3a y^4,
e aplicamos a fórmula:
l(a^2x^3+3a y^4r)^3 = u^3 + 3u^2v + 3u v^2 + v^3

Passo 3

Calculamos cada termo isoladamente:
u^3 = (a^2x^3)^3 = a^6x^9,
3,u^2v = 3,(a^2x^3)^2,(3a y^4) =3,a^4x^6cdot3a y^4 =9,a^5x^6y^4,
3,u v^2 = 3,(a^2x^3),(3a y^4)^2 =3,a^2x^3cdot9a^2y^8 =27,a^4x^3y^8,
v^3 = (3a y^4)^3 = 27,a^3y^12

Passo 4

Somando tudo, a expansão fica
l(a^2x^3+3a y^4r)^3 = a^6x^9 +9,a^5x^6y^4 +27,a^4x^3y^8 +27,a^3y^12

Passo 5

Agora vamos refatorar essa soma. Observe que todos os termos têm fator comum a^3:
a^6x^9+9a^5x^6y^4+27a^4x^3y^8+27a^3y^12 = a^3l(a^3x^9+9a^2x^6y^4+27a x^3y^8+27y^12r)
Dentro do parêntese reconhecemos outro cubo de soma com
a^3x^9=(a x^3)^3, 27y^12=(3y^4)^3,
e
(a x^3+3y^4)^3 = a^3x^9 +3,a^2x^6cdot3y^4 +3,a x^3cdot(3y^4)^2 +(3y^4)^3,
que gera exatamente aquele polinômio. Logo,
a^3l(a^3x^9+9a^2x^6y^4+27a x^3y^8+27y^12r) = a^3(a x^3+3y^4)^3

Passo 6

Por fim, note que
a^3(a x^3+3y^4)^3 =l(a,(a x^3+3y^4)r)^3 =l(a^2x^3+3a y^4r)^3,
ou seja, voltamos exatamente à expressão original.

Resposta

(a) A expansão é
a^6x^9 +9,a^5x^6y^4 +27,a^4x^3y^8 +27,a^3y^12
(b) Fatorando de volta, obtemos
a^3(a x^3+3y^4)^3 =l(a^2x^3+3a y^4r)^3,
que coincide com a expressão dada.

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