Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(3 a^2 x y+2 b x y^3)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois refatorar o cubo de uma soma
l(3a^2xy + 2bxy^3r)^3
O conteúdo usado aqui é a fórmula do cubo de um binômio, que diz como obter cada termo da expansão.

Passo 2

Se definirmos
A = 3a^2xy e B = 2bxy^3,
a fórmula do cubo de uma soma é
(A+B)^3 = A^3 ;+; 3A^2B ;+; 3AB^2 ;+; B^3

Passo 3

Calculamos cada termo:
  1. A^3:
A^3 = l(3a^2xyr)^3 = 27,a^6,x^3,y^3

Passo 4

  1. 3A^2B:
A^2 = l(3a^2xyr)^2 = 9,a^4,x^2,y^2, B = 2bxy^3,
então
3A^2B = 3cdot(9a^4x^2y^2)cdot(2bxy^3) =54,a^4,b,x^3,y^5

Passo 5

  1. 3AB^2:
B^2 = l(2bxy^3r)^2 = 4,b^2,x^2,y^6, A = 3a^2xy,
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3AB^2 = 3cdot(3a^2xy)cdot(4b^2x^2y^6) =36,a^2,b^2,x^3,y^7

Passo 6

  1. B^3:
B^3 = l(2bxy^3r)^3 = 8,b^3,x^3,y^9

Passo 7

Somando todos os termos da expansão, obtemos
27a^6x^3y^3 ;+; 54a^4b,x^3y^5 ;+; 36a^2b^2x^3y^7 ;+; 8b^3x^3y^9

Passo 8

Para refatorar, note que cada termo tem fator comum x^3y^3:
x^3y^3l(27a^6 + 54a^4b,y^2 + 36a^2b^2y^4 + 8b^3y^6r)
Dentro dos parênteses está exatamente o cubo de 3a^2 + 2by^2, pois
(3a^2 + 2b,y^2)^3 =27a^6 + 54a^4b,y^2 + 36a^2b^2y^4 + 8b^3y^6
Logo a fatoração é
x^3y^3,(3a^2 + 2by^2)^3 = (3a^2xy + 2bxy^3)^3,
que coincide com a expressão original.

Resposta

(a) 27a^6x^3y^3 ;+; 54a^4b,x^3y^5 ;+; 36a^2b^2x^3y^7 ;+; 8b^3x^3y^9
(b) Refatorando dá
x^3y^3,(3a^2 + 2by^2)^3 = (3a^2xy + 2bxy^3)^3,
que é exatamente a expressão dada.

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