Nos problemas a seguir, determine a área sob a curva dada no intervalo indicado.
y=e^2 x no intervalo 0 <= x <= ln 3

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo integral. O enunciado pede para determinar a área sob a curva da função y = e^2x no intervalo de x de 0 até ln 3 . Para isso, vamos precisar usar o conceito de integrais definidas, que nos ajuda a calcular a área entre uma curva e o eixo x em um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para encontrar a área sob a curva de uma função f(x) entre os limites a e b , usamos a seguinte integral definida:
integrala^b f(x) , dx
No nosso caso, f(x) = e^2x , a = 0 e b = ln 3 .

Passo 3

Vamos calcular a integral de e^2x :
integral e^2x , dx
Sabemos que a integral de e^kx é 1k e^kx + C , onde k é uma constante. Aqui, k = 2 , então:
integral e^2x , dx = 12 e^2x + C

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração, 0 e ln 3 :
[ 12 e^2x ]0^ln 3 = 12 e^2 ln 3 - 12 e^0

Passo 5

Vamos simplificar as expressões. Sabemos que e^ln a = a , então:
e^2 ln 3 = e^ln 3^2 = 3^2 = 9
e^0 = 1
Substituindo esses valores na expressão:
12 times 9 - 12 times 1 = 92 - 12 = 82 = 4

Resposta

A área sob a curva y = e^2x no intervalo 0 <= x <= ln 3 é igual a 4 unidades quadradas.

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