Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(3 xy+2 a)^3

Passo 1

O conteúdo aqui é a fórmula do cubo de uma soma, que diz que, para u e v,
(u+v)^3 = u^3 + 3,u^2v + 3,u,v^2 + v^3
No nosso caso, identificamos
u = 3xy, v = 2a

Passo 2

Vamos calcular cada termo da expansão:
u^3 = (3xy)^3 = 27x^3y^3,
3,u^2v = 3 cdot (3xy)^2 cdot (2a) = 3 cdot 9x^2y^2 cdot 2a = 54a,x^2y^2,
3,u,v^2 = 3 cdot 3xy cdot (2a)^2 = 3 cdot 3xy cdot 4a^2 = 36a^2xy,
v^3 = (2a)^3 = 8a^3

Passo 3

Somando todos os termos, obtemos a expressão expandida:
(3xy + 2a)^3 = 27x^3y^3 + 54a,x^2y^2 + 36a^2xy + 8a^3

Passo 4

Para fatorar de volta, reconhecemos que essa soma de termos segue exatamente o padrão (u+v)^3. Logo,
27x^3y^3 + 54a,x^2y^2 + 36a^2xy + 8a^3 = (3xy + 2a)^3,
que é exatamente a expressão dada no enunciado.

Resposta

(a) 27x^3y^3 + 54a,x^2y^2 + 36a^2xy + 8a^3
(b) (3xy + 2a)^3,
que coincide com a expressão original.

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