Nos problemas a seguir, determine a área sob a curva dada no intervalo indicado.
y=3x no intervalo 1 <= x <= e^2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente calcular a área debaixo da curva y = 3x no intervalo de x = 1 até x = e^2 . Isso significa que vamos usar cálculo integral para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral definida para essa função no intervalo dado:
integral1^e^2 3x , dx

Passo 3

Sabemos que a integral de 1x é o logaritmo natural, então podemos resolver a integral assim:
integral 3x , dx = 3 ln |x| + C
Como estamos calculando uma área específica, o constante C não é necessário.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração, ou seja, substituir x por e^2 e por 1 :
3 ln (e^2) - 3 ln (1)

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  • Sabemos que ln (e^2) = 2 porque o logaritmo natural de e é 1, então multiplicando por 2 dá 2.
  • Também sabemos que ln(1) = 0 porque qualquer logaritmo de 1 é zero.
Então:
3 times 2 - 3 times 0 = 6

Resposta

A área sob a curva y = 3x no intervalo de 1 <= x <= e^2 é igual a 6.

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