(valor 2.0 pontos) Seja F(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^-3 / 2(x, y, z) um campo vetorial em R^3. Calcular integralC F cdot d r, onde C é a interseção dos cones z=-1+raizx^2+2 y^2 e z=12-raiz3 x^2+6 y^2. Indicar as duas orientações.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z)=(x,y,z)l(x^2+y^2+z^2r)^3/2
em R^3, e pede o integral de linha
integralCFcdot dr, onde C é a curva fechada que resulta da interseção dos cones
z=-1+raizx^2+2y^2 e z=12-raiz3x^2+6y^2
Para resolver, vamos identificar a equação de C, parametrizá-la nas duas orientações e usar que F é um campo conservativo (fora da origem).

Passo 2

Igualando as duas expressões de z obtemos
-1+raizx^2+2y^2 ;=; 12-raiz3x^2+6y^2 ;Longrightarrow; raizx^2+2y^2,(1+raiz3)=13
Definindo
t0=131+raiz3,
chegamos a
x^2+2y^2=t0^2, z=-1+t0

Passo 3

Uma parametrização de C é
r(theta)=l(t0costheta,;tfract0raiz2sintheta,;-1+t0r), 0<=theta<=2pi
Esta é a orientação “positiva” (ângulo crescendo). A orientação oposta basta tomar theta de 2pi a 0, ou equivalentemente
rrm inv(theta)=r(-theta), 0<=theta<=2pi

Passo 4

Note que F é conservativo em R^3setminus0 com potencial
phi(x,y,z)=-1raizx^2+y^2+z^2,
pois nablaphi=F. A curva C não passa pela origem, logo em qualquer curva fechada em R^3setminus0 vale
oint Fcdot dr =phil(inícior)-phil(fimr) =0 í

Resposta

integralCFcdot dr=0 em ambas as orientações.

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