(valor 2.0 pontos) Seja
um campo vetorial em
. Calcular
, onde
é a interseção dos cones
e
. Indicar as duas orientações.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
em
, e pede o integral de linha
, onde
é a curva fechada que resulta da interseção dos cones
Para resolver, vamos identificar a equação de
, parametrizá-la nas duas orientações e usar que
é um campo conservativo (fora da origem).
Passo 2
Igualando as duas expressões de
obtemos
Definindo
chegamos a
Passo 3
Uma parametrização de
é
Esta é a orientação “positiva” (ângulo crescendo). A orientação oposta basta tomar
de
a
, ou equivalentemente
Passo 4
Note que
é conservativo em
com potencial
pois
. A curva
não passa pela origem, logo em qualquer curva fechada em
vale