(valor 2 pontos) Seja F(x, y, z)=(x+yx^2+y^2, y-xx^2+y^2, z+1) um campo vetorial em R^3.
Calcular ointC F cdot d r, onde C é a curva x^24+(y-1 / 3)^2=1 e z=3 orientado no sentido horário. F é um campo conservativo no dominio dele?

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=gl(x+yx^2+y^2,;y-xx^2+y^2,;z+1gr)
e pede a integral de linha
ointC Fcdot d r,
onde C é a elipse
x^24+(y-tfrac13)^2=1,
no plano z=3, orientada no sentido horário.
Além disso pergunta se F é conservativo em seu domínio.

Passo 2

Como em C temos z=3 constante, então dz=0 e
Fcdot d r =P,dx+Q,dy+R,dz =underbracex+yx^2+y^2Pdx +underbracey-xx^2+y^2Qdy
Logo
ointC Fcdot d r=ointC P,dx+Q,dy.

Passo 3

Note que a forma omega=P,dx+Q,dy tem
partial Q/partial x-partial P/partial y=0
sempre que x^2+y^2neq0, ou seja, é uma forma fechada no plano retirando a origem.
Como C envolve exatamente uma vez a origem, o valor da integral só depende do número de voltas em torno da origem.

Passo 4

Para achar o “valor por volta” podemos calcular em um círculo de raio R centrado na origem, com orientação padrão (contra-horário).
Parametrizando
x=Rcos t, y=Rsin t, tin[0,2pi],
obtém-se
oint(P,dx+Q,dy)=-2pi
quando o círculo é percorrido no sentido anti-horário.
Como C é percorrida no sentido horário (inverso do anti-horário), inverte-se o sinal e fica
ointC Fcdot d r=+2pi

Passo 5

Para verificar se F é conservativo, calculamos o rotor em R^3setminusx=y=0.
Em coordenadas, encontra-se
nablatimes F=(0,0,0)
sempre que x^2+y^2neq0.
Porém o domínio natural de F exclui o eixo x=y=0, que o torna não simplesmente conexo, e vimos que existe curva fechada (a nossa elipse) cuja integral de F não é zero.
Logo F não é conservativo no seu domínio.

Resposta

ointC Fcdot d r=2pi
F não é um campo conservativo em seu domínio.

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