(valor 2 pontos) Seja um campo vetorial em .
Calcular , onde é a curva e orientado no sentido horário. é um campo conservativo no dominio dele?
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede a integral de linha ,
onde é a elipse ,
no plano , orientada no sentido horário.
Além disso pergunta se é conservativo em seu domínio.
Passo 2
Como em temos constante, então e
Logo ointC Fcdot d r=ointC P,dx+Q,dy.
Passo 3
Note que a forma omega=P,dx+Q,dy tem partial Q/partial x-partial P/partial y=0
sempre que x^2+y^2neq0, ou seja, é uma forma fechada no plano retirando a origem.
Como C envolve exatamente uma vez a origem, o valor da integral só depende do número de voltas em torno da origem.
Passo 4
Para achar o “valor por volta” podemos calcular em um círculo de raio R centrado na origem, com orientação padrão (contra-horário).
Parametrizando
x=Rcos t, y=Rsin t, tin[0,2pi],
obtém-se oint(P,dx+Q,dy)=-2pi
quando o círculo é percorrido no sentido anti-horário.
Como C é percorrida no sentido horário (inverso do anti-horário), inverte-se o sinal e fica
ointC Fcdot d r=+2pi
Passo 5
Para verificar se F é conservativo, calculamos o rotor em R^3setminusx=y=0.
Em coordenadas, encontra-se nablatimes F=(0,0,0)
sempre que x^2+y^2neq0.
Porém o domínio natural de F exclui o eixo x=y=0, que o torna não simplesmente conexo, e vimos que existe curva fechada (a nossa elipse) cuja integral de F não é zero.
Logo Fnão é conservativo no seu domínio.
Resposta
ointC Fcdot d r=2pi F não é um campo conservativo em seu domínio.