Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(y+2)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois fatorar de volta a expressão do cubo de uma soma, no caso (y+2)^3. O conteúdo é o Teorema Binomial, que diz que
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Vamos usar essa fórmula para expandir e depois aplicar fatoração polinomial.

Passo 2

Aplicando o Teorema Binomial em (y+2)^3, temos
(y+2)^3 = sumk=0^3binom3ky^3-k,2^k = y^3 + 3y^2cdot2 + 3ycdot2^2 + 2^3 = y^3 + 6y^2 + 12y + 8

Passo 3

Para refatorar y^3+6y^2+12y+8, notamos que -2 é raiz do polinômio com multiplicidade 3. Usando divisão sintética por y+2 obtemos
y^3+6y^2+12y+8 = (y+2),(y^2+4y+4) = (y+2),(y+2)^2 = (y+2)^3

Passo 4

Comparando a fatoração (y+2)^3 com a expressão original, vemos que coincidem, confirmando que a expansão e a fatoração estão corretas.

Resposta

(a) y^3 + 6y^2 + 12y + 8
(b) A fatoração retorna a (y+2)^3, exatamente a expressão dada.

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