Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(2 x+1)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir (2x+1)^3 e depois fatorar o polinômio obtido, comparando com a expressão original. O conteúdo a usar é a fórmula do cubo de uma soma (caso especial do binômio de Newton).

Passo 2

Aplicamos a fórmula
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
com a=2x e b=1. Substituindo, obtemos
(2x+1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2cdot 1 + 3(2x)cdot 1^2 + 1^3
Calculando cada termo:
(2x)^3 = 8x^3, 3(2x)^2 = 12x^2, 3(2x) = 6x, 1^3 = 1
Logo,
(2x+1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1

Passo 3

Agora vamos fatorar o polinômio 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1. Pelo teste de raiz racional, x=-tfrac12 anula o polinômio, de modo que 2x+1 é fator. Fazendo a divisão de 8x^3+12x^2+6x+1 por 2x+1, obtemos o quociente
4x^2 + 4x + 1
Observamos que
4x^2 + 4x + 1 = (2x+1)^2
Portanto,
8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 = (2x+1),(2x+1)^2 = (2x+1)^3

Passo 4

Concluímos que a fatoração do polinômio expandido retorna exatamente o cubo da soma original, confirmando que a expansão e a fatoração são consistentes.

Resposta

(a) 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1
(b) (2x+1)^3

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