Resolva a transformada inversa
Y(s)=2 s+13(s+2)^2+4 s(s^2+4)(s+2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a transformada inversa de:
Y(s) = 2 s + 13(s + 2)^2 + 4 s(s^2 + 4)(s + 2)^2
Aqui, estamos lidando com a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar dividir a expressão em partes mais simples e aplicar as regras de transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira fração:
2 s + 13(s + 2)^2
Vamos simplificar essa expressão. Podemos reescrever o numerador de uma forma que facilite a inversão.

Passo 3

Vamos separar 2s + 13 em termos que se relacionam com o denominador (s + 2)^2. Reescrevendo:
2s + 13 = 2(s + 2) + 9
Então, a fração fica:
2(s + 2) + 9(s + 2)^2 = 2s + 2 + 9(s + 2)^2

Passo 4

Agora, aplicamos a transformada inversa em cada termo separadamente.
Sabemos que:
L^-11s + a = e^-a t
e
L^-11(s + a)^2 = t e^-a t
Aplicando isso aos termos:
L^-12s + 2 = 2 e^-2 t
L^-19(s + 2)^2 = 9 t e^-2 t

Passo 5

Agora, vamos para a segunda fração:
4 s(s^2 + 4)(s + 2)^2
Para resolver isso, vamos usar a decomposição em frações parciais. Queremos escrever essa expressão como uma soma de termos mais simples que podemos inverter facilmente.

Passo 6

Assumimos que:
4 s(s^2 + 4)(s + 2)^2 = As + 2 + B(s + 2)^2 + Cs + Ds^2 + 4
Multiplicando ambos os lados por (s^2 + 4)(s + 2)^2 para eliminar os denominadores:
4s = A(s^2 + 4)(s + 2) + B(s^2 + 4) + (Cs + D)(s + 2)^2

Passo 7

Explicamos que agora precisamos encontrar os valores de A, B, C e D que satisfazem essa equação. Expande cada termo e iguala os coeficientes dos mesmos poderes de s em ambos os lados.
Após resolver, encontramos:
A = 0, B = -1, C = 0, D = 4
Então, a fração fica:
-1(s + 2)^2 + 4s^2 + 4

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa a cada termo:
Sabemos que:
L^-11s^2 + a^2 = sin(a t)a
Aplicando isso:
L^-1-1(s + 2)^2 = - t e^-2 t
L^-14s^2 + 4 = 2 sin(2 t)

Resposta

Juntando todas as partes, a transformada inversa de Y(s) é:
y(t) = 2 e^-2 t + 9 t e^-2 t - t e^-2 t + 2 sin(2 t)
Simplificando os termos semelhantes:
y(t) = 2 e^-2 t + 8 t e^-2 t + 2 sin(2 t)

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