Resolva a transformada inversa
Passo 1
Beleza, vamos resolver a transformada inversa de:
Aqui, estamos lidando com a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta usada para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar dividir a expressão em partes mais simples e aplicar as regras de transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira fração:
Vamos simplificar essa expressão. Podemos reescrever o numerador de uma forma que facilite a inversão.
Passo 3
Vamos separar
em termos que se relacionam com o denominador
. Reescrevendo:
Então, a fração fica:
Passo 4
Agora, aplicamos a transformada inversa em cada termo separadamente.
Sabemos que:
e
Aplicando isso aos termos:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda fração:
Para resolver isso, vamos usar a decomposição em frações parciais. Queremos escrever essa expressão como uma soma de termos mais simples que podemos inverter facilmente.
Passo 6
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 7
Explicamos que agora precisamos encontrar os valores de A, B, C e D que satisfazem essa equação. Expande cada termo e iguala os coeficientes dos mesmos poderes de s em ambos os lados.
Após resolver, encontramos:
Então, a fração fica:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa a cada termo:
Sabemos que:
Aplicando isso:
Resposta
Juntando todas as partes, a transformada inversa de
é:
Simplificando os termos semelhantes: