Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(2 x+y)^3

Passo 1

O enunciado nos pede para trabalhar com o “cubo de uma soma”, isto é, expandir e depois refatorar a expressão
(2x + y)^3
Para isso vamos usar o Teorema do Binômio de Newton e, em seguida, reconhecer o padrão de cubo de soma para refatorar.

Passo 2

Pelo Teorema do Binômio de Newton, para dois termos a e b temos
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Aqui fazemos a = 2x e b = y. Então
(2x + y)^3 = (2x)^3 + 3,(2x)^2,y + 3,(2x),y^2 + y^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3

Passo 3

Agora, para fatorar a expressão resultante
8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3,
reconhecemos novamente o padrão
a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3,
com a = 2x e b = y. Logo a fatoração é
8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 = (2x + y)^3,
que coincide exatamente com a expressão original.

Resposta

(a) (2x + y)^3 = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3
(b) Fatorando 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 obtemos (2x + y)^3, que é a expressão dada.

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