Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(a x+2 y)^3

Passo 1

O enunciado nos pede para expandir e depois fatorar a expressão (a x + 2 y)^3.
O conteúdo aqui é a aplicação do Teorema do Binômio para n=3, que diz que
(u+v)^3 = u^3 + 3,u^2v + 3,uv^2 + v^3

Passo 2

Tomando u = a x e v = 2 y, aplicamos a fórmula:
(a x + 2 y)^3 = (a x)^3 + 3,(a x)^2,(2y) + 3,(a x),(2y)^2 + (2y)^3
Agora calculamos cada termo:
(a x)^3 = a^3 x^3,
3,(a x)^2,(2y) = 3,a^2 x^2cdot 2y = 6,a^2 x^2 y,
3,(a x),(2y)^2 = 3,a xcdot 4y^2 = 12,a x y^2,
(2y)^3 = 8,y^3
Logo a expansão é
a^3 x^3 + 6 a^2 x^2 y + 12 a x y^2 + 8 y^3

Passo 3

Para fatorar o polinômio
a^3 x^3 + 6 a^2 x^2 y + 12 a x y^2 + 8 y^3
basta reconhecer que ele veio da expansão de (a x + 2y)^3. Portanto, a fatoração completa é
(a x + 2y)^3,
que coincide com a expressão dada.

Resposta

(a) a^3 x^3 + 6 a^2 x^2 y + 12 a x y^2 + 8 y^3
(b) (a x + 2y)^3

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