Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(2 a m+b^2 y)^3

Passo 1

O enunciado pede para tomar a expressão
(2am + b^2y)^3
e fazer duas coisas:
(a) expandi-la usando o Teorema do Binômio (cubo de uma soma);
(b) fatorar o polinômio resultante e verificar que voltamos à forma original.

Passo 2

Aplicando a fórmula
(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
com x = 2am e y = b^2y, obtemos:
(2am + b^2y)^3 = (2am)^3 + 3,(2am)^2,(b^2y) + 3,(2am),(b^2y)^2 + (b^2y)^3
Calculando cada termo:
(2am)^3 = 8a^3m^3, 3,(2am)^2,(b^2y) = 3cdot4a^2m^2cdot b^2y = 12a^2b^2m^2y,
3,(2am),(b^2y)^2 = 3cdot2amcdot b^4y^2 = 6ab^4m,y^2, (b^2y)^3 = b^6y^3
Portanto, a expansão é
8a^3m^3 + 12a^2b^2m^2y + 6ab^4m,y^2 + b^6y^3

Passo 3

Agora vamos fatorar
8a^3m^3 + 12a^2b^2m^2y + 6ab^4m,y^2 + b^6y^3
Extraindo o fator comum (2am + b^2y), escrevemos
8a^3m^3 + 12a^2b^2m^2y + 6ab^4m,y^2 + b^6y^3 = (2am + b^2y),l(4a^2m^2 + 4ab^2m,y + b^4y^2r)

Passo 4

Observe que o segundo fator é um quadrado perfeito, pois
(2am + b^2y)^2 = 4a^2m^2 + 4ab^2m,y + b^4y^2
Logo
(2am + b^2y),l(4a^2m^2 + 4ab^2m,y + b^4y^2r) = (2am + b^2y),(2am + b^2y)^2 = (2am + b^2y)^3

Resposta

(a)
8a^3m^3 + 12a^2b^2m^2y + 6ab^4m,y^2 + b^6y^3
(b)
Ao fatorar, recuperamos exatamente
(2am + b^2y)^3,
que é a expressão dada originalmente.

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