Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(2 a^2 b^2 x+3 a b^3 y^2)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois fatorar a expressão (2a^2b^2x+3ab^3y^2)^3. O conteúdo usado é a fórmula do cubo da soma, que diz que para quaisquer u e v temos
(u+v)^3 = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3

Passo 2

Identificamos
u = 2a^2b^2x e v = 3ab^3y^2
Substituindo na fórmula do cubo da soma, obtemos
(2a^2b^2x + 3ab^3y^2)^3 = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3

Passo 3

Calculamos cada termo separadamente:
u^3 = (2a^2b^2x)^3 = 8a^6b^6x^3
3u^2v = 3,(2a^2b^2x)^2,(3ab^3y^2) = 3cdot4a^4b^4x^2cdot3ab^3y^2 = 36a^5b^7x^2y^2
3uv^2 = 3,(2a^2b^2x),(3ab^3y^2)^2 = 3cdot2a^2b^2xcdot9a^2b^6y^4 = 54a^4b^8xy^4
v^3 = (3ab^3y^2)^3 = 27a^3b^9y^6

Passo 4

Somando todos os termos, a expressão expandida fica
8a^6b^6x^3 + 36a^5b^7x^2y^2 + 54a^4b^8xy^4 + 27a^3b^9y^6

Passo 5

Para fatorar de volta, reconhecemos que essa soma é exatamente da forma (u+v)^3 com os mesmos u e v definidos antes. Logo,
8a^6b^6x^3 + 36a^5b^7x^2y^2 + 54a^4b^8xy^4 + 27a^3b^9y^6 = (2a^2b^2x + 3ab^3y^2)^3

Passo 6

Concluímos que a fatoração da forma expandida devolve exatamente a expressão original.

Resposta

(a)
8a^6b^6x^3 + 36a^5b^7x^2y^2 + 54a^4b^8xy^4 + 27a^3b^9y^6
(b)
(2a^2b^2x + 3ab^3y^2)^3,
que coincide com a expressão inicial dada.

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