Use integração por partes para calcular as integrais indicadas.
integral(1+x^2) e^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(1+x^2) e^3 x , dx usando integração por partes. Esse método é super útil quando a gente tem um produto de funções, como é o caso aqui: um polinômio 1 + x^2 multiplicado por uma exponencial e^3x. Para resolver, vamos precisar identificar partes da função para aplicar a fórmula de integração por partes, que você vai entender melhor nos próximos passos!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
A ideia é escolher u e dv de forma que a integral fique mais simples após aplicar a fórmula. Aqui, vamos escolher:
u = 1 + x^2 e dv = e^3x , dx
Agora, precisamos encontrar du e v.

Passo 3

Calculando du e v:
du = ddx(1 + x^2) , dx = 2x , dx
v = integral e^3x , dx = 13 e^3x
Agora que temos u, du, v e dv, podemos aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
integral(1+x^2) e^3 x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= (1 + x^2) cdot 13 e^3x - integral 13 e^3x cdot 2x , dx
Simplificando:
= 1 + x^23 e^3x - 23 integral x e^3x , dx
Agora, temos uma nova integral integral x e^3x , dx para resolver, que também vai usar integração por partes.

Passo 5

Resolvendo a nova integral integral x e^3x , dx usando integração por partes novamente:
u = x e dv = e^3x , dx
Calculando du e v:
du = dx e v = 13 e^3x
Aplicando a fórmula:
integral x e^3x , dx = x cdot 13 e^3x - integral 13 e^3x , dx
= x3 e^3x - 19 e^3x
Agora, voltamos à integral original:
1 + x^23 e^3x - 23 ( x3 e^3x - 19 e^3x )
Simplificando tudo:
= 1 + x^23 e^3x - 2x9 e^3x + 227 e^3x + C
Podemos fatorar e^3x para deixar mais bonito:
= e^3x ( x^23 - 2x9 + 1127 ) + C

Resposta

A integral integral(1+x^2) e^3 x , dx é igual a
e^3x ( x^23 - 2x9 + 1127 ) + C,
onde C é a constante de integração.

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