x^2 y^prime+2 x y & =cos x y(pi) & =0

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de 1ª ordem
x^2y' + 2x,y = cos x
com condição inicial y(pi)=0.
O conteúdo é “equações lineares de 1º ordem” e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão dividindo por x^2:
y' + 2x,y = cos xx^2
O coeficiente de y é 2/x, então o fator integrante mu(x) é
mu(x) = expl(integral 2x,dxr) = expl(2ln|x|r) = x^2

Passo 3

Multiplicando toda a equação por mu(x)=x^2 obtemos
x^2y' + 2x,y = cos x,
que reconhecemos como a derivada do produto x^2y, ou seja
l(x^2yr)' = cos x
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
x^2y = integral cos x,dx = sin x + C

Passo 4

Isolando y vem
y = sin x + Cx^2
Usamos a condição inicial y(pi)=0:
0 = y(pi) = sinpi + Cpi^2 = 0 + Cpi^2 Longrightarrow C = 0

Resposta

y(x) = sin xx^2

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