Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(3 x^2 y4 a+2 a^3 x3 y)^3

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos com o cubo de uma soma, ou seja, expandir e depois fatorar a expressão
l(3x^2y4a + 2a^3x3yr)^3
O conteúdo aqui é o binômio de Newton, especificamente a fórmula
(A + B)^3 ;=; A^3 ;+; 3A^2B ;+; 3AB^2 ;+; B^3

Passo 2

Identificamos os termos da soma como
A = 3x^2y4a, B = 2a^3x3y

Passo 3

Usamos a fórmula do cubo de uma soma de forma simbólica:
l(A+Br)^3 = A^3 ;+; 3A^2B ;+; 3AB^2 ;+; B^3

Passo 4

Calculamos A^3 e B^3:
A^3 = l(tfrac3x^2y4ar)^3 = 27,x^6,y^364,a^3,
B^3 = l(tfrac2a^3x3yr)^3 = 8,a^9,x^327,y^3

Passo 5

Calculamos o termo 3A^2B:
A^2 = l(tfrac3x^2y4ar)^2 = 9,x^4,y^216,a^2,
A^2B = 9,x^4,y^216,a^2 ;times; 2a^3x3y = 18,a,x^5,y48 = 38,a,x^5y,
3A^2B = 3 times 38,a,x^5y = 98,a,x^5y

Passo 6

Calculamos o termo 3AB^2:
B^2 = l(tfrac2a^3x3yr)^2 = 4,a^6,x^29,y^2,
AB^2 = 3x^2y4a ;times; 4,a^6,x^29,y^2 = 12,a^5,x^436,y = 13,a^5,x^4y,
3AB^2 = 3 times 13,a^5,x^4y = a^5,x^4y

Passo 7

Agora reunimos todos os termos para obter a forma expandida:
l(3x^2y4a + 2a^3x3yr)^3 = 27,x^6,y^364,a^3 + 98,a,x^5y + a^5,x^4y + 8,a^9,x^327,y^3

Passo 8

Para fatorar, basta reconhecer que os quatro termos correspondem exatamente a
(A+B)^3 com A e B definidos antes. Assim, ao fatorar, recuperamos
l(3x^2y4a + 2a^3x3yr)^3

Resposta

27,x^6,y^364,a^3 + 98,a,x^5y + a^5,x^4y + 8,a^9,x^327,y^3
e, ao fatorar, retorna-se à forma original
l(3x^2y4a + 2a^3x3yr)^3

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