Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma diferença.
(2 x-y)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois fatorar a expressão (2x - y)^3. O conteúdo aqui é a aplicação do teorema binomial para cubo de uma diferença e em seguida a fatoração do polinômio obtido.

Passo 2

Pelo teorema binomial para cubo de uma soma temos
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
No nosso caso, podemos escrever (2x - y)^3 = (a + b)^3 fazendo a = 2x e b = -y.

Passo 3

Substituindo a = 2x e b = -y na fórmula, obtemos:
(2x - y)^3 = (2x)^3 + 3,(2x)^2(-y) + 3,(2x)(-y)^2 + (-y)^3
Calculando cada termo:
(2x)^3 = 8x^3, 3,(2x)^2(-y) = 3cdot4x^2cdot(-y) = -12x^2y,
3,(2x)(-y)^2 = 3cdot2xcdot y^2 = 6xy^2, (-y)^3 = -y^3

Passo 4

Somando esses resultados, a expansão fica
8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3

Passo 5

Para fatorar o polinômio 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3, note que ele é o cubo de uma diferença. Mas podemos também ver por agrupamento:
8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3 = (2x - y)l(4x^2 - 4xy + y^2r)
E reconhecemos que
4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2
Portanto a fatoração completa é
(2x - y),(2x - y)^2 = (2x - y)^3

Passo 6

Comparando com a forma original, vemos que a expressão fatorada retorna exatamente (2x - y)^3.

Resposta

(a) 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3
(b) A fatoração é (2x - y)^3, que coincide com a expressão dada.

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