Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma diferença.
(3 a-1)^3

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos com o “cubo de uma diferença”, ou seja, expandir e depois refatorar a expressão
(3a - 1)^3
O conteúdo aqui é a fórmula de expansão do cubo de uma diferença e a fatoração inversa para verificar que voltamos ao termo original.

Passo 2

Aplicamos a fórmula
(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3
com x = 3a e y = 1. Logo,
(3a - 1)^3 = (3a)^3 - 3,(3a)^2cdot1 + 3,(3a)cdot1^2 - 1^3
Calculando cada termo:
(3a)^3 = 27a^3, 3,(3a)^2cdot1 = 3cdot9a^2 = 27a^2, 3,(3a)cdot1^2 = 9a, 1^3 = 1
Então a expansão é
(3a - 1)^3 = 27a^3 - 27a^2 + 9a - 1

Passo 3

Agora vamos refatorar 27a^3 - 27a^2 + 9a - 1. Observe que é um candidato a fatorar como diferença de cubos e agrupamento:
27a^3 - 27a^2 + 9a - 1 = (27a^3 - 1) + (-27a^2 + 9a)
Usando diferença de cubos em 27a^3 - 1 = (3a - 1)(9a^2 + 3a + 1) e fator comum em -27a^2 + 9a = -9a(3a - 1), temos
27a^3 - 27a^2 + 9a - 1 = (3a - 1)(9a^2 + 3a + 1) - 9a(3a - 1) = (3a - 1)l(9a^2 + 3a + 1 - 9ar)
Dentro do parêntese simplifica-se
9a^2 + 3a + 1 - 9a = 9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2
Portanto
27a^3 - 27a^2 + 9a - 1 = (3a - 1),(3a - 1)^2 = (3a - 1)^3

Passo 4

Comparando, partimos de (3a - 1)^3, expandimos para 27a^3 - 27a^2 + 9a - 1 e ao refatorar voltamos a (3a - 1)^3. Isso confirma que a expansão e a fatoração estão corretas e coincidem com a expressão dada.

Resposta

(a) 27a^3 - 27a^2 + 9a - 1
(b) (3a - 1)^3

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