Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma diferença.
(3 x-y2)^3

Passo 1

O enunciado pede que a gente expanda e depois refatore o cubo da diferença (3x - tfracy2)^3. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do binômio ao cubo:
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Passo 2

Identificamos
a = 3x, b = tfracy2,
e aplicamos a fórmula:
(3x - tfracy2)^3 = (3x)^3 - 3,(3x)^2,l(tfracy2r) + 3,(3x),l(tfracy2r)^2 - l(tfracy2r)^3

Passo 3

Vamos calcular cada termo separadamente:
O cubo de 3x é
(3x)^3 = 27x^3
O segundo termo é
3cdot(3x)^2cdottfracy2 = 3cdot 9x^2cdottfracy2 = tfrac272x^2y
O terceiro termo é
3cdot(3x)cdotl(tfracy2r)^2 = 3cdot 3xcdottfracy^24 = tfrac94xy^2
O quarto termo é
l(tfracy2r)^3 = tfracy^38
Somando com os sinais apropriados, obtemos a expansão:
27x^3 - tfrac272x^2y + tfrac94xy^2 - tfracy^38

Passo 4

Para refatorar, basta reconhecer que o polinômio acima é exatamente a expansão de (3x - tfracy2)^3. Logo, a fatoração é
27x^3 - tfrac272x^2y + tfrac94xy^2 - tfracy^38 = l(3x - tfracy2r)^3

Resposta

(a) 27x^3 - tfrac272x^2y + tfrac94xy^2 - tfracy^38.
(b) A fatoração recupera exatamente l(3x - tfracy2r)^3, coincidindo com a expressão dada.

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