Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado de um polinômio.
(-x-y-z)^2

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos com o quadrado de um polinômio:
(a) expandir (-x - y - z)^2;
(b) depois fatorar o polinômio obtido e comparar com a expressão original.
Para isso, vamos usar a propriedade
(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
e o fato de que (-x - y - z) = -(x+y+z).

Passo 2

Aplicando diretamente a fórmula de expansão com a=-x, b=-y, c=-z, temos
(-x-y-z)^2 = (-x)^2 + (-y)^2 + (-z)^2 + 2(-x)(-y) + 2(-x)(-z) + 2(-y)(-z)
Como (-x)^2=x^2 e (-x)(-y)=xy, etc., obtemos
(-x-y-z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz

Passo 3

Agora vamos fatorar
x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz
Reconhecemos a expansão de (x+y+z)^2, pois
(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz
Além disso, como (-x-y-z)^2 = (-(x+y+z))^2 = (x+y+z)^2, concluímos que a fatoração nos leva de volta à expressão original ao quadrado.

Resposta

(a) ,(-x-y-z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz
(b) A fatoração é
x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz = (x+y+z)^2,
que coincide com (-x-y-z)^2 pois o sinal negativo some ao elevar ao quadrado.

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