- (2 pontos) Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta em caso de afirmação verdadeira e exiba contraexemplos quando forem falsas.
Toda função diferenciável é contínua.
Toda função diferenciável é contínua.
Passo 1
O enunciado pergunta se “toda função diferenciável é contínua”. O conteúdo aqui é a relação entre as noções de derivada e de limite: vamos usar a definição de derivada num ponto para mostrar que, sempre que
é diferenciável em um ponto
, então
é contínua em
.
Passo 2
Seja
diferenciável em
. Por definição existe
Multiplicando a diferença de quocientes pelo fator
, temos
Logo
isto é,
é contínua em
. Como
foi ponto arbitrário do domínio de
, concluímos que toda função diferenciável é contínua.
Resposta
Verdadeira.