1. (2 pontos) Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta em caso de afirmação verdadeira e exiba contraexemplos quando forem falsas.
    Toda função diferenciável é contínua.

Passo 1

O enunciado pergunta se “toda função diferenciável é contínua”. O conteúdo aqui é a relação entre as noções de derivada e de limite: vamos usar a definição de derivada num ponto para mostrar que, sempre que f é diferenciável em um ponto a, então f é contínua em a.

Passo 2

Seja f diferenciável em a. Por definição existe
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a
Multiplicando a diferença de quocientes pelo fator (x-a), temos
limxto al(f(x)-f(a)r) =limxto af(x)-f(a)x-a,l(x-ar) =f'(a)cdot0 =0
Logo
limxto af(x)-f(a)=0 Longrightarrow limxto af(x)=f(a),
isto é, f é contínua em a. Como a foi ponto arbitrário do domínio de f, concluímos que toda função diferenciável é contínua.

Resposta

Verdadeira.

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