Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado de um polinômio.
(a+b+c-d)^2

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois refatorar a expressão
(a + b + c - d)^2
O conteúdo envolvido é o produto notável para o quadrado da soma de quatro termos. Vamos usar a fórmula geral de expansão de (x1+x2+x3+x4)^2.

Passo 2

A fórmula do quadrado de uma soma de quatro termos é
(x1+x2+x3+x4)^2 = x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 + 2l(x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4r)

Passo 3

No nosso caso, identificamos
x1=a, x2=b, x3=c, x4=-d
Então:
x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 = a^2 + b^2 + c^2 + (-d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2,
e
2l(x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4r) =2l(ab + ac + a(-d) + bc + b(-d) + c(-d)r)
Simplificando esses produtos,
2l(ab + ac -ad + bc -bd -cdr) =2ab + 2ac - 2ad + 2bc - 2bd - 2cd
Portanto a expansão completa é
(a+b+c-d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac - 2ad + 2bc - 2bd - 2cd

Passo 4

Agora, para refatorar, basta reconhecer que todos esses termos vêm exatamente do quadrado de (a+b+c-d). Assim,
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac - 2ad + 2bc - 2bd - 2cd = (a + b + c - d)^2
Isso mostra que a fatoração devolve a expressão original.

Resposta

a) (a+b+c-d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac - 2ad + 2bc - 2bd - 2cd
b) Ao fatorar a expressão expandida obtemos (a+b+c-d)^2, que coincide com a expressão dada.

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