Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado de um polinômio.
(x-y+z-u)^2

Passo 1

O enunciado pede para (a) expandir e (b) fatorar de volta a expressão (x - y + z - u)^2.
O conteúdo aqui é a fórmula do quadrado de uma soma de quatro termos, que generaliza
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
para
(a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2 +2l(ab + ac + ad + bc + bd + cdr)
Vamos usar essa identidade com a=x, b=-y, c=z, d=-u.

Passo 2

Aplicando a identidade, temos
(x - y + z - u)^2 = x^2+(-y)^2+z^2+(-u)^2 +2l(xcdot(-y)+xcdot z + xcdot(-u)+(-y)cdot z+(-y)cdot(-u)+zcdot(-u)r)
Agora simplificamos cada termo:
(-y)^2=y^2, (-u)^2=u^2,
e dentro de 2(dots):
xcdot(-y)=-xy,; xcdot z = xz,; xcdot(-u)=-xu,; (-y)cdot z=-yz,; (-y)cdot(-u)=yu,; zcdot(-u)=-zu
Logo o polinômio expandido fica
x^2+y^2+z^2+u^2 +2l(-xy + xz - xu - yz + yu - zur),
isto é,
x^2+y^2+z^2+u^2 -2xy +2xz -2xu -2yz +2yu -2zu

Passo 3

Para fatorar de volta, notamos que a expressão obtida é exatamente da forma
a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
com a=x, b=-y, c=z, d=-u. Portanto, reagrupando, surge novamente
(x - y + z - u)^2

Passo 4

Comparando, vemos que a fatoração devolve exatamente a expressão original do enunciado, confirmando que a expansão e a posterior fatoração estão corretas.

Resposta

(a) x^2+y^2+z^2+u^2-2xy+2xz-2xu-2yz+2yu-2zu
(b) fatorando volta-se a obter (x - y + z - u)^2, conforme o enunciado.

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