Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado de um polinômio.
(m-n-p-r)^2

Passo 1

O enunciado pede para expandir a expressão (m - n - p - r)^2 e depois refatorar o resultado para comparar com a expressão dada. O conteúdo envolvido é a identidade de quadrado de soma de quatro termos:
(A + B + C + D)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + D^2 + 2l(AB + AC + AD + BC + BD + CDr)

Passo 2

Identificamos cada parcela da soma:
A = m, B = -n, C = -p, D = -r
Em seguida vamos calcular A^2,B^2,C^2,D^2 e todos os produtos duplos 2AB,2AC,dots,2CD.

Passo 3

Quadrados:
A^2 = m^2, B^2 = (-n)^2 = n^2, C^2 = (-p)^2 = p^2, D^2 = (-r)^2 = r^2
Produtos duplos:
2AB = 2,m(-n) = -2mn,
2AC = 2,m(-p) = -2mp,
2AD = 2,m(-r) = -2mr,
2BC = 2,(-n)(-p) = 2np,
2BD = 2,(-n)(-r) = 2nr,
2CD = 2,(-p)(-r) = 2pr

Passo 4

Somando todos os termos, obtemos a forma expandida:
m^2 + n^2 + p^2 + r^2 - 2mn - 2mp - 2mr + 2np + 2nr + 2pr

Passo 5

Para fatorar, reconhecemos que essa soma de quadrados e produtos duplos é precisamente a identidade de volta. Logo,
m^2 + n^2 + p^2 + r^2 - 2mn - 2mp - 2mr + 2np + 2nr + 2pr = (m - n - p - r)^2,
que coincide com a expressão original.

Resposta

(a) m^2 + n^2 + p^2 + r^2 - 2mn - 2mp - 2mr + 2np + 2nr + 2pr
(b) A fatoração é (m - n - p - r)^2, exatamente a expressão dada.

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