Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado de um polinômio.
(3 x^2-4 x y+3 x-y)^2

Passo 1

O enunciado pede (a) expandir o quadrado do polinômio l(3x^2-4xy+3x-yr)^2 e (b) fatorar o resultado, mostrando que volta ao original. O conteúdo é expansão de soma de termos ao quadrado e fatoração de um quadrado perfeito.

Passo 2

Para expandir l(3x^2-4xy+3x-yr)^2 usamos a identidade
(A+B+C+D)^2 = A^2+B^2+C^2+D^2 +2(AB+AC+AD+BC+BD+CD),
onde A=3x^2, B=-4xy, C=3x e D=-y. Calculamos:
A^2=9x^4, B^2=16x^2y^2, C^2=9x^2, D^2=y^2,
2AB=2cdot(3x^2)(-4xy)=-24x^3y, 2AC=2cdot(3x^2)(3x)=18x^3,
2AD=2cdot(3x^2)(-y)=-6x^2y, 2BC=2cdot(-4xy)(3x)=-24x^2y,
2BD=2cdot(-4xy)(-y)=8xy^2, 2CD=2cdot(3x)(-y)=-6xy
Somando todos os termos, a forma expandida é
9x^4 -24x^3y +18x^3 +16x^2y^2 -30x^2y +9x^2 +8xy^2 -6xy +y^2

Passo 3

Para fatorar, note que em y isso é
(16x^2+8x+1),y^2 +(-24x^3-30x^2-6x),y +9x^2(x+1)^2
Observe que 16x^2+8x+1=(4x+1)^2 e -24x^3-30x^2-6x=-6x(4x+1)(x+1). Assim o discriminante é zero, o que indica quadrado perfeito, e obtemos
l((4x+1)y-3x(x+1)r)^2 =l(3x^2-4xy+3x-yr)^2
Comparando, a fatoração devolve exatamente o polinômio original elevado ao quadrado.

Resposta

(a) 9x^4-24x^3y+18x^3+16x^2y^2-30x^2y+9x^2+8xy^2-6xy+y^2
(b) l(3x^2-4xy+3x-yr)^2, que coincide com a expressão dada.

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