Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Quadrado de um polinômio.
(4 x^2 y^3-2 x^2 y^3+5 x y^4-y^2)^2

Passo 1

O enunciado pede para (a) expandir o quadrado do polinômio
l(4x^2y^3-2x^2y^3+5xy^4-y^2r)^2
e (b), a partir do resultado, fatorá-lo novamente comparando com a forma dada. O conteúdo é aplicação da identidade de quadrado de soma de termos e fatoração de polinômio.

Passo 2

Primeiro simplificamos o polinômio dentro dos parênteses, somando os termos semelhantes:
4x^2y^3-2x^2y^3 = 2x^2y^3
Logo o polinômio vira
P = 2x^2y^3 + 5xy^4 - y^2

Passo 3

Para expandir P^2 usamos a fórmula
(A+B+C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC,
onde identificamos
A = 2x^2y^3, B = 5xy^4, C = -,y^2

Passo 4

Calculamos cada termo:
A^2 = (2x^2y^3)^2 = 4x^4y^6,
B^2 = (5xy^4)^2 = 25x^2y^8,
C^2 = (-y^2)^2 = y^4,
2AB = 2cdot(2x^2y^3)cdot(5xy^4) = 20x^3y^7,
2AC = 2cdot(2x^2y^3)cdot(-y^2) = -4x^2y^5,
2BC = 2cdot(5xy^4)cdot(-y^2) = -10xy^6

Passo 5

Somando todos os termos, obtemos a expansão:
P^2 = 4x^4y^6 + 20x^3y^7 + 25x^2y^8 - 4x^2y^5 - 10xy^6 + y^4

Passo 6

Agora fatoramos o polinômio expandido. Observando que ele foi gerado pela fórmula de quadrado, basta reagrupar em
l(2x^2y^3 + 5xy^4 - y^2r)^2,
ou seja, recuperamos exatamente a forma original.

Resposta

(a) Expansão:
4x^4y^6 + 20x^3y^7 + 25x^2y^8 - 4x^2y^5 - 10xy^6 + y^4
(b) Fatoração:
l(4x^2y^3-2x^2y^3+5xy^4-y^2r)^2 =l(2x^2y^3+5xy^4-y^2r)^2

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