Considere f definida por f(x)=c-x, para x <= 0 2, para x>0.
a) Calcule f^prime(-1)
b) Existem f-^prime(0) e f+^prime(0) ?
c) f é derivável em x=0 ?

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= -x,& x<=0, 2,& x>0,
e pede (a) f'(-1), (b) existência de ,f-'(0) e f+'(0), e (c) se f é derivável em 0. Vamos usar a definição de derivada nas regiões onde f é dada por expressão elementar e depois calcular as derivadas laterais em 0.

Passo 2

Para x<0 temos f(x)=-x, que é diferenciável com
ddx(-x)=-1
Como -1<0, para x=-1 vale
f'(-1)=-1

Passo 3

A derivada lateral à esquerda em 0 é
f-'(0) =limhto0^-f(0+h)-f(0)h
Para h<0 usamos f(h)=-h e f(0)=0, logo
f-'(0) =limhto0^--h-0h =limhto0^-(-1) =-1
Portanto f-'(0) existe e vale -1.

Passo 4

A derivada lateral à direita em 0 é
f+'(0) =limhto0^+f(0+h)-f(0)h
Para h>0 temos f(h)=2 e f(0)=0, então
f+'(0) =limhto0^+2-0h =limhto0^+2h,
que diverge para +infty. Assim f+'(0) não existe como número finito.

Passo 5

Como as derivadas laterais em 0 não coincidem (a da direita não existe), f não é derivável em 0.

Resposta

(a) f'(-1)=-1
(b) f-'(0)=-1 existe e f+'(0) não existe
(c) f não é derivável em x=0

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