- Dada a função
, sabe-se que
e que
. Indique os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos críticos de máximo e mínimo, os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e os em que ela é voltada para baixo, bem como os pontos de inflexão e as assíntotas, caso existam. Feito isso, trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
com derivadas
e pede intervalos de crescimento e decrescimento, pontos críticos de máximo e mínimo, intervalos de concavidade para cima e para baixo, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, o esboço do gráfico.
Passo 2
Determinar o domínio e as assíntotas verticais.
O denominador anula em , então o domínio é
O denominador anula em
Como
em
, existem assíntotas verticais em
Analisando o sinal de
e de
perto de cada ponto, conclui-se que
Passo 3
Encontrar os pontos críticos e estudar monotonicidade.
Os pontos críticos vêm de (numerador zero) ou indefinição (denominação zero já em
).
Os pontos críticos vêm de
Como
estão em
e
, e
em
, os intervalos de sinal de
são:
- Para
, e , logo . - Para
, e denominador positivo, logo .
Portanto
Em
há troca de decrescente para crescente
mínimo local.
Em crescente–crescente
ponto de sela (sem extremo).
Em crescente–decrescente
máximo local.
Em
Em
Passo 4
Concavidade e pontos de inflexão via
.
O numerador zera só em
; o denominador anula em
(fora do domínio).
Analisando o sinal:
Analisando o sinal:
- Em
, e (côncavo para cima). - Em
, e (côncavo para baixo). - Em
, e denom > (côncavo para cima). - Em
, e denom < (côncavo para baixo).
Há inflexão em, pois a concavidade troca de sinal e .
Passo 5
Assíntota oblíqua.
Fazendo a divisão de polinômios:
Fazendo a divisão de polinômios:
Como
quando
, existe assíntota oblíqua
Resposta
Cresce em
Decresce em
Mínimo local em
, com
Máximo local em
, com
Sem extremo em
(ponto de sela).
Concavidade para cima em
Concavidade para cima em
concavidade para baixo em
Ponto de inflexão em
.
Assíntotas verticais em e
.
Assíntota oblíqua em .
Assíntotas verticais em
Assíntota oblíqua em
Esboço do gráfico: cruza a origem, tende a
e
em
, aproxima-se da reta
quando
, apresenta mínimo em
e máximo em
, com as concavidades apontadas acima.