1. Dada a função f(x)=x^31-x^2, sabe-se que f^prime(x)=x^2(3-x^2)(1-x^2)^2 e que f^prime prime(x)=2 x(x^2+3)(1-x^2)^3. Indique os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos críticos de máximo e mínimo, os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e os em que ela é voltada para baixo, bem como os pontos de inflexão e as assíntotas, caso existam. Feito isso, trace o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^31-x^2
com derivadas
f'(x)=x^2,(3-x^2)(1-x^2)^2, f''(x)=2x,(x^2+3)(1-x^2)^3
e pede intervalos de crescimento e decrescimento, pontos críticos de máximo e mínimo, intervalos de concavidade para cima e para baixo, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, o esboço do gráfico.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas verticais.
O denominador anula em x=pm1, então o domínio é
Rsetminus-1,1 =(-infty,-1),cup,(-1,1),cup,(1,infty)
Como 1-x^2to0 em xtopm1, existem assíntotas verticais em
x=-1e x=1
Analisando o sinal de 1-x^2 e de x^3 perto de cada ponto, conclui-se que
limxto1^-f(x)=+infty,; limxto1^+f(x)=-infty,; limxto(-1)^-f(x)=+infty,; limxto(-1)^+f(x)=-infty

Passo 3

Encontrar os pontos críticos e estudar monotonicidade.
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 (numerador zero) ou indefinição (denominação zero já em x=pm1).
f'(x)=0;Longrightarrow;x^2(3-x^2)=0 ;Longrightarrow;x=0,;x=pmraiz3
Como pmraiz3approxpm1,732 estão em (-infty,-1) e (1,infty), e x=0 em (-1,1), os intervalos de sinal de f'(x) são:
  • Para lvert xrvert<raiz3, 3-x^2>0 e (1-x^2)^2>0, logo f'(x)>0.
  • Para lvert xrvert>raiz3, 3-x^2<0 e denominador positivo, logo f'(x)<0.
    Portanto
cresce em (-raiz3,-1),;(-1,1),;(1,raiz3), decresce em (-infty,-raiz3),;(raiz3,infty)
Em x=-raiz3 há troca de decrescente para crescente Rightarrow mínimo local.
Em x=0 crescente–crescente Rightarrow ponto de sela (sem extremo).
Em x=+raiz3 crescente–decrescente Rightarrow máximo local.

Passo 4

Concavidade e pontos de inflexão via f''(x).
f''(x)=2x,(x^2+3)(1-x^2)^3
O numerador zera só em x=0; o denominador anula em x=pm1 (fora do domínio).
Analisando o sinal:
  • Em (-infty,-1), x<0 e (1-x^2)^3<0 Rightarrow f''>0 (côncavo para cima).
  • Em (-1,0), x<0 e (1-x^2)^3>0 Rightarrow f''<0 (côncavo para baixo).
  • Em (0,1), x>0 e denom > 0Rightarrow f''>0 (côncavo para cima).
  • Em (1,infty), x>0 e denom < 0Rightarrow f''<0 (côncavo para baixo).
    Há inflexão em x=0, pois a concavidade troca de sinal e f(0)=0.

Passo 5

Assíntota oblíqua.
Fazendo a divisão de polinômios:
x^31-x^2 = -,x ;+;x1-x^2
Como x1-x^2to0 quando lvert xrverttoinfty, existe assíntota oblíqua
y=-x

Resposta

Cresce em
(-raiz3,-1),;(-1,1),;(1,raiz3),
Decresce em
(-infty,-raiz3),;(raiz3,infty)
Mínimo local em x=-raiz3, com
f(-raiz3)=(-raiz3)^31-3=-3raiz3-2=3raiz32
Máximo local em x=+raiz3, com
f(raiz3)=(raiz3)^31-3=3raiz3-2=-3raiz32
Sem extremo em x=0 (ponto de sela).
Concavidade para cima em
(-infty,-1);cup;(0,1),
concavidade para baixo em
(-1,0);cup;(1,infty)
Ponto de inflexão em (0,0).
Assíntotas verticais em x=-1 e x=1.
Assíntota oblíqua em y=-x.
Esboço do gráfico: cruza a origem, tende a +infty e -infty em xtopm1, aproxima-se da reta y=-x quando xtopminfty, apresenta mínimo em -raiz3 e máximo em +raiz3, com as concavidades apontadas acima.

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