Considere
uma função complexa
, com
um conjunto aberto.
- escrevendo
, podemos identificar
como um conjunto aberto de
;
- podemos escrever
sendo
.
- a derivada de
num ponto
, quando existe, é definida por
Mostre que
Passo 1
A questão pede para mostrar que, se
existe, então a derivada complexa se escreve tanto em termos das parciais em
quanto em
, isto é,
.
Para resolver vamos usar a definição de derivada complexa e as derivadas parciais de
e
; precisamos reconhecer que a derivada
é o limite do quociente de diferença tanto na direção real quanto na imaginária.
Passo 2
Considerando um incremento real , calculamos
Ao fazer
reconhecemos as derivadas parciais
logo esse limite é
Como
existe, esse valor é
.
Passo 3
Agora tomamos um incremento imaginário
com
. O quociente fica
Reescrevendo
e, ao passar
, surgem as parciais
e
, ficando
Como novamente esse limite vale
, concluímos que as duas expressões coincidem e obtemos as fórmulas desejadas."]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=["A questão pede para mostrar que, se
existe, então a derivada complexa se escreve tanto em termos das parciais em
quanto em
, isto é,
.
Para resolver vamos usar a definição de derivada complexa e as derivadas parciais de
e
; precisamos reconhecer que a derivada
é o limite do quociente de diferença tanto na direção real quanto na imaginária.",