Considere f uma função complexa f: A subset C C, com A um conjunto aberto.
  • escrevendo C ni z=x+i y, podemos identificar A como um conjunto aberto de R^2;
  • podemos escrever
f(z)=f(x+i y)=u(x, y)+i v(x, y)
sendo u, v: A subset R^2 R.
  • a derivada de f num ponto z0=x0+i y0, quando existe, é definida por
f^prime(z0)=lim h 0 f(z0+h)-f(z0)h
Mostre que
f^prime(z0) & =partial upartial x(x0, y0)+i partial vpartial x(x0, y0) & =partial vpartial y(x0, y0)-i partial upartial y(x0, y0)

Passo 1

A questão pede para mostrar que, se f'(z0) existe, então a derivada complexa se escreve tanto em termos das parciais em x quanto em y, isto é, f'(z0)=ux(x0,y0)+i vx(x0,y0)=vy(x0,y0)-i uy(x0,y0).
Para resolver vamos usar a definição de derivada complexa e as derivadas parciais de u e v; precisamos reconhecer que a derivada f'(z0) é o limite do quociente de diferença tanto na direção real quanto na imaginária.

Passo 2

Considerando um incremento real , calculamos
h=x08igl(tfracDe
Ao fazer f(z0+De reconhecemos as derivadas parciais
De
logo esse limite é
partial upartial x(x0,y0)e partial vpartial x(x0,y0),
Como partial upartial x(x0,y0)+ipartial vpartial x(x0,y0) existe, esse valor é f'(z0).

Passo 3

Agora tomamos um incremento imaginário h=iDe com De. O quociente fica
f(z0+iDe
Reescrevendo
= -iu(x0,y0+De
e, ao passar De, surgem as parciais uy e vy, ficando
vy(x0,y0)-i,uy(x0,y0)
Como novamente esse limite vale f'(z0), concluímos que as duas expressões coincidem e obtemos as fórmulas desejadas."]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=["A questão pede para mostrar que, se f'(z0) existe, então a derivada complexa se escreve tanto em termos das parciais em x quanto em y, isto é, f'(z0)=ux(x0,y0)+i vx(x0,y0)=vy(x0,y0)-i uy(x0,y0).
Para resolver vamos usar a definição de derivada complexa e as derivadas parciais de u e v; precisamos reconhecer que a derivada f'(z0) é o limite do quociente de diferença tanto na direção real quanto na imaginária.",

Resposta

f'(z0) = partial upartial x(x0,y0) + i partial vpartial x(x0,y0)
f'(z0) = partial vpartial y(x0,y0) - i partial upartial y(x0,y0)

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